囲碁きっず2はChromebookのLinuxというシステムの上で動きます。
残念ながら現時点ではこのLinux上では日本語が簡単には入力できません。

2つの解決方法があります。

1.Linux に日本語入力のシステムを導入する
2.別のアプリで日本語入力して囲碁きっず2のチャット欄にコピペ(コピー&ペースト)する

1の方法についてはこちらのページで解説しています。

Chromebookの囲碁きっず2で日本語入力を使う

2..別のアプリで日本語入力して囲碁きっず2のチャット欄にコピペ(コピー&ペースト)する方法をここでは解説します。

Chromebookの画面左下をクリックして開くランチャーから"Text"を立ち上げます。
"Text"に日本語入力して囲碁きっず2のチャット欄にコピペします。