iPhone の Safari を使う手順について説明します。Android スマホでもこれに準じた形でできると思います。
１.まず、Safari に「囲碁クエ→つぶや棋譜」ブックマークレットを用意します。
a.Safari で適当なWebページをブックマークに登録してください。
b.それを編集します。名前は「囲碁クエ→つぶや棋譜」など適当につけてください。
URLの欄には↓をそのままコピペしてください。
javascript:var f=function(){$('#export-button').click();var s=$('#kif-export-box').val();location.href='http://gokifu.net/kifutweet2.php?sgf='+encodeURI(s);};f();
↓こんな感じ。これを保存します。
２．囲碁クエストの棋譜を Safari で開きます。
a.Twitter で URL がつぶやかれている場合はそれを開きます。
b.囲碁クエスト内の対局履歴などから拾う場合はまず「ゲームをツイート」をタップします。
c. ツイートするテキストから下図のように URL をコピーしてください。
d. その URL を Safari で開きます。
「このページを"囲碁クエスト" で開きますか？」に対して、「キャンセル」をしてください。、
すると、↓このような状態になります。
３．さきほどのブックマークレットを起動すれば完了！
そのままの状態で、ブックマークから最初に登録してあった「囲碁クエ→つぶや棋譜」を選びます。
すると、あら、不思議？ このようにつぶや棋譜が囲碁クエの棋譜を読み込んだ状態で開きます。めでたしめでたし。
以上です。